Thuyết tương đối tổng quát là gì? Các nghiên cứu khoa học

Định nghĩa và nguyên lý cơ bản

Thuyết tương đối tổng quát (General Relativity) là khung lý thuyết mô tả lực hấp dẫn không phải qua tác động trực tiếp giữa các khối năng lượng, mà thông qua hình học của không‑thời gian bốn chiều. Trong đó, khối lượng và năng lượng làm biến dạng cấu trúc không‑thời gian xung quanh, tạo ra đường cong khiến các vật thể di chuyển dọc theo các quỹ đạo geodesic trong không‑thời gian cong.

Nguyên lý tương đương (Equivalence Principle) khẳng định tại mọi điểm trong không‑thời gian, không thể phân biệt tác dụng của trường hấp dẫn với lực quán tính trong một hệ quy chiếu rơi tự do. Điều này mở rộng khái niệm quán tính của thuyết tương đối hẹp, cho phép xây dựng thuyết trường hấp dẫn trên cơ sở metric và các phép biến đổi tổng quát (general coordinate transformations).

• Equivalence Principle: quán tính = hấp dẫn cục bộ.
• Không‑thời gian 4D: các sự kiện xác định bằng toạ độ \(x^\mu = (ct, x, y, z)\).
• Biến dạng metric \(g_{\mu\nu}\) là hàm của phân bố năng lượng–động lượng.

Định lý cơ bản của thuyết tương đối tổng quát được phát biểu lần đầu năm 1915 bởi Albert Einstein, sau nhiều năm nỗ lực kết hợp lý thuyết quán tính và quan hệ giữa khối lượng–năng lượng. Kết quả là một hệ phương trình trường (field equations) liên kết trực tiếp tensor độ cong của không‑thời gian với tensor năng lượng–động lượng của vật chất (Einstein Papers Project).

Công thức trường Einstein

Phương trình trường Einstein thể hiện mối quan hệ giữa cấu trúc hình học của không‑thời gian và phân phối năng lượng–động lượng của vật chất và trường:

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

Trong đó:

• \(G_{\mu\nu}\): tensor Einstein, \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R\,g_{\mu\nu}\), mô tả độ cong của không‑thời gian.
• \(T_{\mu\nu}\): tensor năng lượng–động lượng, thể hiện mật độ năng lượng, áp suất và dòng năng lượng của vật chất và trường (ví dụ: trường điện từ, trường chất khí).
• \(\Lambda\): hằng số vũ trụ, đại diện cho năng lượng chân không (dark energy) và chịu trách nhiệm cho sự giãn nở gia tốc của vũ trụ.
• \(G\) và \(c\): hằng số hấp dẫn Newton và tốc độ ánh sáng, đảm bảo đúng chiều kích đơn vị.

Phương trình trên là hệ phương trình phi tuyến bậc hai, khó giải nghiệm tổng quát. Trong các trường hợp đối xứng cao (tĩnh, đồng nhất, đối xứng cầu), ta có thể tìm được các nghiệm đơn giản như metric Schwarzschild, Kerr, FRW… Các nghiệm này ứng dụng để mô tả lỗ đen, vũ trụ giãn nở và các kết cấu không‑thời gian đặc biệt.

Giải tích hình học của không‑thời gian

Không‑thời gian trong GR được xem là một đa tạp (manifold) bốn chiều với metric \(g_{\mu\nu}(x)\) xác định khoảng cách vô cực nhỏ giữa hai sự kiện:

$ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu$

Tensor Riemann \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) đo độ cong của không‑thời gian thông qua phép vận chuyển song song và vòng lặp bất kỳ:

• \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\).
• Tensor Ricci \(R_{\mu\nu} = R^\rho_{\ \mu\rho\nu}\) là sự co lược của Riemann.
• Độ cong vô hướng \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\).

Khái niệm kết cấu affine và connection \(\Gamma^\rho_{\mu\nu}\) cho phép tính toán geodesic – quỹ đạo tự do của các hạt không chịu lực ngoài – theo phương trình:

$\frac{d^2x^\rho}{d\tau^2} + \Gamma^\rho_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} = 0$

Giới hạn trường yếu và xấp xỉ Newton

Trong vùng trường hấp dẫn yếu và vận tốc nhỏ so với \(c\), metric có thể viết dưới dạng xấp xỉ:

$g_{00} \approx -\Bigl(1 + \tfrac{2\Phi}{c^2}\Bigr),\quad g_{ij} \approx \delta_{ij}\Bigl(1 - \tfrac{2\Phi}{c^2}\Bigr)$

Trong đó \(\Phi(\mathbf{x})\) là thế hấp dẫn Newton thông thường. Dưới xấp xỉ này, phương trình trường Einstein giảm về phương trình Poisson:

$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$

• Thế hấp dẫn \(\Phi\): hàm tiềm năng trong Newton.
• Khối lượng mật độ \(\rho\): nguồn tạo hấp dẫn.
• Phương trình Poisson: giới hạn Newton của GR.

Giới hạn trường yếu cho phép tính toán các hiệu ứng nhỏ như lệch đường truyền ánh sáng gần Mặt Trời, dịch chuyển đỏ hấp dẫn và tiền chuyển động chậm perihelion của sao Thủy, phù hợp với quan sát thực nghiệm và mang tính nội suy với cơ học Newton truyền thống.

Giải pháp Schwarzschild và lỗ đen

Nghiệm Schwarzschild là lời giải đơn giản nhất của phương trình trường Einstein trong trường hợp tĩnh, đối xứng cầu, không có điện tích và moment động lượng. Metric Schwarzschild được viết dưới dạng:

$ds^2 = -\Bigl(1-\frac{2GM}{rc^2}\Bigr)c^2dt^2 + \Bigl(1-\frac{2GM}{rc^2}\Bigr)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$

Trong đó \(r_s = 2GM/c^2\) gọi là bán kính Schwarzschild hay chân trời sự kiện (event horizon). Vật thể đặt trong \(r

Lỗ đen Schwarzschild có các tính chất đặc trưng như entropy tỉ lệ với diện tích chân trời \(S = k_B A/4\ell_P^2\) và nhiệt độ Hawking \(T = \hbar c^3/(8\pi GMk_B)\). Mô hình này là nền tảng cho nghiên cứu lỗ đen quay (Kerr), lỗ đen mang điện (Reissner–Nordström) và lỗ đen Kerr–Newman.

So sánh với thuyết tương đối hẹp

Thuyết tương đối hẹp (Special Relativity) chỉ áp dụng cho không‑thời gian phẳng (Minkowski) và không mô tả trọng trường. Metric Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) cho khoảng cách :

$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Khi trọng trường yếu và \(g_{\mu\nu}\to \eta_{\mu\nu}\), GR giảm về SR, đảm bảo tính tương thích với các kết quả thực nghiệm về quán tính và chuyển động tương đối học.

Trong GPS, kỹ thuật hiệu chỉnh relativistic đòi hỏi tính cả dịch chuyển thời gian do vận tốc (SR) và dịch chuyển do thế hấp dẫn (GR). Sai số tích lũy nếu bỏ qua GR lên tới ~38 µs/ngày, tương đương sai vị trí ~10 km/ngày (gps.gov).

Xác nhận thực nghiệm và quan sát

Độ lệch ánh sáng khi đi ngang qua Mặt Trời đã được Eddington đo tại nhật thực năm 1919, phù hợp với giá trị 1.75″ dự đoán bởi GR. Kết quả này được công bố trên Monthly Notices of the Royal Astronomical Society và khẳng định tính đúng đắn của thuyết.

Sau đó, hệ nhị phân pulsar PSR 1913+16 do Hulse và Taylor phát hiện năm 1974 cho phép đo hiệu ứng mất năng lượng qua phát xạ sóng hấp dẫn, khớp với dự báo của GR trong sai số 0.2% (Nobel Prize 1993).

Gần đây, Kính viễn vọng sóng hấp dẫn LIGO/Virgo đã trực tiếp quan sát tín hiệu GW150914 (2015), phát sinh từ va chạm lỗ đen hai khối lượng ~30 M☉, mở ra kỷ nguyên thiên văn sóng hấp dẫn và cung cấp phép thử nghiệm ở trường mạnh chưa từng có (ligo.org).

Ứng dụng trong vũ trụ học

Mô hình vũ trụ Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) dựa trên metric đồng nhất, đẳng hướng:

$ds^2 = -c^2dt^2 + a(t)^2\Bigl(\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Omega^2\Bigr)$

Phương trình Friedmann mô tả giãn nở vũ trụ:

$\bigl(\tfrac{\dot a}{a}\bigr)^2 + \tfrac{kc^2}{a^2} = \tfrac{8\pi G}{3}\rho + \tfrac{\Lambda c^2}{3}$

Quan sát vi sóng nền vũ trụ (CMB) từ Planck and WMAP khẳng định vũ trụ gần phẳng (\(k\approx0\)) và thành phần năng lượng gồm ~68% năng lượng tối, ~27% vật chất tối, ~5% vật chất baryon (ESA Planck).

Thách thức và mở rộng

GR còn đối mặt vấn đề bất khả kháng kỳ dị (singularity) và không tương thích với cơ học lượng tử. Các nỗ lực như thuyết dây (String Theory) và Loop Quantum Gravity (LQG) tìm cách lượng tử hóa không‑thời gian, loại bỏ kỳ dị và xây dựng hấp dẫn lượng tử phi giao hoán (arxiv.org).

Giải pháp tích hợp GR với SM (Standard Model) qua supersymmetry và mô hình kích thích chân không (vacuum condensate) vẫn đang được nghiên cứu. Các phép thử trọng trường cực mạnh tại trung tâm dải Ngân Hà hoặc va chạm lỗ đen siêu lớn có thể hé lộ hiệu ứng lượng tử hấp dẫn.

Tài liệu tham khảo

• Einstein, A. (1916). The Foundation of the General Theory of Relativity. Annalen der Physik. Retrieved from Einstein Papers.
• Misner, C.W., Thorne, K.S., & Wheeler, J.A. (1973). Gravitation. W.H. Freeman.
• Wald, R.M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
• Planck Collaboration. (2018). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy & Astrophysics.
• LIGO Scientific Collaboration & Virgo Collaboration. (2016). Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger. Physical Review Letters, 116(6), 061102.